lunes, 19 de octubre de 2015

Temario



Unidad 3 Límites y Continuidad
3.1 Límite de una Sucesión
3.2 Límite de una función de variable real
3.3 Cálculo de Límites
3.4 Propiedades de los Límites
3.5 Límites Laterales
3.6 Límites Infinitos Límites al Infinito
3.7 Asíntotas
3.8 Funciones Continuas y Discontinuas en un punto y en un Intervalo
3.9 Tipos de Discontinuidades
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3.1 Límite de una Sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. Este concepto está estrechamente ligado al de convergencia, una sucesión de elementos de un conjunto es convergente si y solo si en el mismo conjunto existe un elemento (al que se le conoce como límite) al cual la sucesión se aproxima tanto como se desee a partir de un momento dado. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión








El término general de una sucesión  \{\,x_n \}_{n\geq 1} tiene límite \,l, cuando \,n tiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilon > 0 por pequeño que sea, existe un valor \,n_0 a partir del cual si \,n>n_0 tenemos que la distancia de \,l a \,x_n es menor que \,\varepsilon, es decir:
\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon.

Notación


\lim_{n\to\infty} x_n=l o bien  x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l

o también

x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty

o simplemente

x_n \to x.

Ejemplos


  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
  • \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0
  • \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
  • \lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0

Límite de una sucesión compleja
Se dice que la sucesión converge hacia un complejo \ell si y solo si

(\forall \varepsilon \in \mathbb R_+^*)(\exists N \in \mathbb N) (\forall n \in \mathbb N) (n \geq N \Rightarrow |u_n - \ell| <\varepsilon)

Nótese que es la misma definición que para \R, con módulo en lugar del valor absoluto.

Se puede escribir

\lim_{n \to + \infty}u_n = \ell o más simplemente, si no hay ambigüedad \lim u = \ell
Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene módulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, \mathbb C es también completo).

Ejemplos


Convergencia puntual
El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones f_n:S\to M definidas en un conjunto no vacío S\, con valores en un espacio métrico (M,d\,) converge puntualmente a una función f:S\to M si

\lim_{n\to \infty} f_n(x) = f(x)

para cada x\in S fijo. Esto significa que

(5) \forall x\in S\quad \forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad n \ge N\ \Longrightarrow\ d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon.
La sucesión de funciones f_n(x):=x/n\, con x\in [0,1] converge puntualmente a la función f(x):=0\, puesto que
\left\vert\frac{x}{n}\right\vert \le \frac{1}{n} \to 0
para cada x\in [0,1] fijo.

Convergencia uniforme


Una sucesión de funciones f_n:S\to M definidas en un conjunto no vacío S\, con valores en un espacio métrico (M,d\,) converge uniformemente a una función f:S\to M si para todo \varepsilon>0 existe un entero N\, (que depende de \varepsilon) tal que

d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon

para todo x\in S y todo n \ge N. Es decir,

(6)\forall \varepsilon>0\quad \exist\, N\in \mathbb N\quad |\quad d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon\quad \forall x\in S\quad \forall n\ge N.

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), N\, puede depender de \varepsilon y de x\, mientras que en (6), N\, sólopuede depender de \varepsilon. Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones f_n:[0,1]\to \mathbb R definidas por f_n(x) = x^n\,. Esta sucesión converge puntualmente a la función
f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{si}\quad 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{si}\quad x=1 \end{cases}
ya que
|f_n(x)-f(x)| = |x^n| \to 0 \quad \mbox{si}\quad 0\le x < 1
mientras que  \vert f_n(1)-f(1)\vert = 0. Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para \varepsilon=1/4, no existe un N\, que satisfaga (6).
De especial interés es el espacio de las funciones continuas C(\Omega)\, definidas sobre un compacto \Omega\subset \mathbb R^n. En este caso, una sucesión de funciones f_n\in C(\Omega),\, converge uniformemente a una función f\in C(\Omega),\, si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,
f_n \stackrel{u}{\longrightarrow}\ f \quad \Longleftrightarrow \quad f_n \stackrel{ \Vert \cdot\Vert}{\longrightarrow}\ f

Sucesiones en otros espacios matemáticos


Una sucesión de elementos \{x_n\}\, de un espacio métrico (M,d\,) converge a un elemento x\in M si para todo número \varepsilon> 0, existe un entero positivo N \, (que depende de\varepsilon) tal que

(1) n\ge N \quad \Longrightarrow \quad d(x_n,x) < \varepsilon.

Intuitivamente, esto significa que los elementos x_n\, de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a x\, si n\, es suficientemente grande, ya que d(x_n,x\,) determinala distancia entre x_n\, y x\,. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado (E,\Vert \cdot\Vert), la norma \Vert \cdot\Vertinduce la métrica d(x,y):=\Vert y - x\Vert para cada x,y\in E; en el caso de un espacio con producto interno (E,\langle \cdot, \cdot\rangle), el producto interno \langle \cdot, \cdot\rangle induce la norma \Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle} para cada x\in E.

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