3.9 Tipos de discontinuidades

Las funciones que no son continuas pueden presentar diferentes tipos de discontinuidades

Para empezar definiremos función no continua como aquella que no cumple la definición de función continúa, es decir, existe algún punto del dominio donde el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo punto:

f(x) no es continua si existe un x=a perteneciente al Dom(f) tal que;

Tipos de Discontinuidad:

Discontinuidad evitable Una discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en que los límites laterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir:



Es razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que la función en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que la función fuera continua (se pudiera evitar la discontinuidad muy fácilmente).Existen dos casos de discontinuidad evitable: Discontinuidad evitable (ausencia de punto): La función no está definida en el punto o bien el punto está desplazado.



Discontinuidad evitable (punto desplazado): La función no está definida en el punto o bien el punto está desplazado.



Veamos un ejemplo:

Tomemos la función

Podemos ver rápidamente que en el punto x=−2 puede que la función no conecte correctamente. Observemos pues la continuidad en ese punto:

Por consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto x=−2. Ejemplo 2: Tomemos la función

Observamos rápidamente que las subfunciones que definen nuestra función son continuas. Por lo que la función será continua si sus subfunciones conectan correctamente. Puede ser que tengamos problemas en el punto x=0. Veamos qué ocurre exactamente:

Por consiguiente, f(x) tiene una discontinuidad evitable en el punto x=0.

Discontinuidad de primera especie Una función f(x) tiene una discontinuidad inevitable en el punto x=a si los límites laterales de la función en este punto no coinciden (y son finitos), es decir:

Independientemente de del valor la función en x=a (del valor de f(a)). Básicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto

Discontinuidad de salto infinito. En este caso la curva tiene alguna "rama infinita" en el punto . Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto



Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a . En la gráfica adjunta el valor del salto es la diferencia



Ejemplo Tomemos la función


Podemos ver que en el cero tenemos:

Por consiguiente, tenemos una discontinuidad inevitable.

Discontinuidad esencial Una función f(x) tiene una discontinuidad esencial en el punto x=a si se cumplen alguno de los siguientes casos:

1. Los límites laterales no coinciden.

2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

Veamos pues exactamente cada caso:

1. Estamos en el caso anterior, discontinuidad inevitable.

2. Se cumple que: limx→a− f(x)=±∞ y/o limx→a+ f(x)=±∞ y la función está definida en x=a (independientemente de su valor). En estos casos aparecen las asíntotas verticales. Para más sobre éstas consultar el tema de representación gráfica.

Veamos un ejemplo:

Podemos ver que el cero seguramente tendremos algún problema de continuidad, así que miremos qué pasa con la continuidad de la función en este punto:



Por lo tanto tenemos una discontinuidad esencial en el punto x=0. Podemos ver una representación gráfica de la función:



Hay que tomar en cuenta que la función f(x)=1/x no presenta discontinuidad esencial ya que la función es continua. La discontinuidad la tendríamos en el punto x=0, pero éste no es del dominio de la función, así que no se puede definir la discontinuidad. No obstante, la función sí tiene una asíntota vertical en x=0 y tiene un comportamiento análogo al de la discontinuidad esencial.

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